Es muy frecuente tener que calcular el factor de compresibilidad (Z) de un gas, empleando ecuaciones de estado cúbicas. En este post, les muestro una manera sencilla para obtener los valores de Z que tienen significado físico.
Como ejemplo, suponga que desea determinar las raíces del factor de compresibilidad empleando la ecuación generalizada de Peng-Robinson para una sustancia que se encuentra a una temperatura reducida (Tr) de 0.7, Presion reducida (Pr) igual a 0.1 y un factor acéntrico de 0.09.
Solución
Para encontrar las raices de la ecuación usaremos aproximacion numérica. Existen diversas maneras para lograr el objetivo. En este caso, usaremos la funcion polynomial implementado en el modulo numpy de Python, la cual permite obtner las raices de una funcion lineal o no lineal del tipo f(x) = 0
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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
La ecuacion de estado de Peng-Robinson tiene la siguiente forma:
\[\begin{align*} &\alpha = \left[1 + \left(0.37464 + 1.5422* \omega - 0.26992*\omega^2\right) * \left(1 - \sqrt(Tr)\right)\right]^2 \\ &A = 0.45724\left(\frac{P_{r}}{T_{r}^{2}}\right)\:\alpha \\ &B = 0.07780\left(\frac{P_{r}}{T_{r}}\right) \\ &Z^3 + (-1+B)\:Z^2 + (A-2B-3B^2)\:Z + (-AB + B^2+B^3) \end{align*}\]Paso 1. Definir una funcion en Python para estimar
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def eos(z, tr, pr, omega):
'''
Calculo de las raices de la ecuaion cubica de Peng Robinson
input: Tr - Temperatura reducida
Pr: Presion reducida
omega: factor acentrico de sustancia
output:
zsol: objeto polinomico de numpy
zeval: valores de funcion para grafico
'''
alpha = (1 + (0.37464 + 1.5422*omega - 0.26992*omega**2) *
(1 - np.sqrt(tr)))**2
A = 0.45724 * (pr/tr**2) * alpha
B = 0.07780 * (pr/tr)
p = -1 + B
q = A - 2*B - 3*B**2
r = -A*B + B**2 + B**3
zsol = np.polynomial.Polynomial((r, q, p, 1))
zeval = z**3 + p * z**2 + q * z + r
return [zeval, zsol]
Esta función tiene como salida el objeto polinómico de numpy y una numpy array con la evaluacion de la función solo para construir un grafico de la ecuacion cúbica.
Paso 2. Visualización del comportamiento
El gráfico del comportamiento de la ecuacion de estado de Peng-Robinson
Paso 3. Presentacion de resultados
Los valores del factor de compresibilidad (Z) para la sustancion en estado líquido saturado es 0.893, mientras que para el vapor es igual 0.015. Estos resultados son consistente con lo observado en el gráfico anterior.
Mas detalles sobre el codigo disponible aca enlace